CHAPITRE 4 LES DONNÉES CHRONOLOGIQUES

1.1. Tout est dit en un seul chiffre : le taux de variation

Ce qui nous intéresse ici, c’est le chiffre de –60 %, qui résume à peu près toute l’information quantifiable. Le journaliste, parmi tous les chiffres dont il disposait, en a extrait les deux principaux : 25 millions de sacs l’année précédente et 10 millions l’année en cours. Mais, deux chiffres c’était encore un de trop pour lui. Il combine alors ces deux chiffres en un seul : –60 %. Ses connaissances en méthodes quantitatives complètent avantageusement ses compétences journalistiques.

Le taux de variation mesure l’évolution relative de la valeur d’une variable dans le temps.

Le chiffre de –60 % s’appelle un taux de variation. Il est obtenu en comparant deux données : la production de l’an dernier et la production de cette année. Ces données ont une caractéristique commune : elles sont exprimées dans la même unité (des millions de sacs de 60 kg). Par contre, ces données viennent de deux périodes différentes (l’an dernier et cette année). En somme, le taux de variation mesure ici l’évolution de la valeur d’une variable dans le temps.

Comment calcule-t-on le taux de variation?

La comparaison la plus simple consiste à mesurer l’écart absolu entre le point de départ et le point d’arrivée. Ici, l’écart est de (10 – 25) = –15. On peut dire aussi que la production baisse de 15 unités. Cependant, le seul chiffre de –15 ne veut pas dire grand-chose si on ne connaît pas le point de départ. En effet, si, par exemple, la production était passée de 3015 à 3000, il n’y aurait pas eu de quoi fouetter un chat. Mais dans le cas présent, la baisse de 15 représente plus de la moitié de la récolte initiale. Pour interpréter la différence entre le point de départ et le point d’arrivée, on ne peut se contenter de l’écart absolu. Il faut calculer l’écart relatif. On a perdu 15 unités sur les 25 unités initiales : l’écart relatif ou taux de variation est de –15/25 = –0,6 = –60 %.

Taux de variation = (Valeur finale – Valeur initiale)/Valeur initiale
Taux de variation = (F – I)/I

Le taux de variation s’exprime généralement sous forme de pourcentage, mais il ne s’agit là que d’un habillage commode.

Notons que, dans le paragraphe précédent, nous avons fourni deux réponses : –0,6 et –60 %. Il s’agit bien sûr du même chiffre, présenté sous deux habillages différents. Dans le même ordre d’idées, on peut dire que 0,60 $ équivalent à 60 cents (ou centièmes). Lorsque vous devez interpréter un chiffre, ne vous fiez pas à la forme qu’il prend, mais bien sûr la réalité qu’il recouvre. Comparons les deux informations suivantes : le Brésil produit 24 % de la récolte mondiale de café; la récolte brésilienne de café a baissé de 60 % cette année. Dans le premier cas, il s’agit d’une proportion (la partie divisée par le tout : voir le chapitre 2). Dans le second cas, il s’agit d’un taux de variation. Nous avons affaire à deux concepts différents déguisés sous le même habit. Étant donné que les pourcentages sont presque exclusivement utilisés pour ces deux concepts, il vaut vraiment la peine de les distinguer clairement.

1.2. Un taux de variation positif : le taux de croissance

Le prix des droits exclusifs de diffusion des Jeux Olympiques a connu une croissance ininterrompue et considérable depuis 1960. La vénérable chaîne CBS obtenait ces droits à Rome (en 1960) pour la bagatelle de 400 000 $. Quatre ans plus tard, à Tokyo, c’était au tour de la non moins vénérable NBC. En 1968, à Mexico, cette dernière se faisait damer le pion par son jeune rejeton, la chaîne ABC. Depuis, la féroce concurrence entre les deux sœurs ennemies a fait monter les enchères : 401 millions en 1992 pour Barcelone, et 456 millions en 1996 pour Atlanta (la patrie de Coca-Cola, est-ce vraiment une coïncidence?)

Si nous appliquons la formule que nous avons énoncée un peu plus haut, nous pouvons affirmer que le prix des droits a augmenté de 13,7 % entre les Jeux de Barcelone et ceux d’Atlanta. En effet, (456 – 401)/401 = 55/401 = 0,137 = 13,7 %. Ce chiffre de 13,7 % représente le taux de variation ou taux de croissance. Cette dernière appellation est la plus courante lorsque l’on s’attend à voir une valeur augmenter d’une période à l’autre. Et si, par malheur, la variable se met soudain à baisser, on parlera, non sans un certain culot, de « croissance négative ».

La hausse vertigineuse des droits de diffusion s’est poursuivie de plus belle dans les décennies suivantes. NBC, qui avait versé 4,38 milliards de dollars pour s’assurer l’exclusivité sur le territoire américain des Jeux olympiques de 2014 (Sotchi), 2016 (Rio de Janeiro), 2018 (Pyeongchang) et 2020 (Tokyo), débourse ensuite un montant supplémentaire de 7,65 milliards pour obtenir une rallonge de 12 ans, jusqu’en 2032.

1.3. Trouver le point d’arrivée grâce au taux de variation

Parfois, l’information fournie est incomplète : on possède le point de départ et le taux de variation, mais on voudrait bien connaître le point d’arrivée. Par exemple, sachant que le prix des droits de diffusion a augmenté de 56,8 % entre les Jeux d’Atlanta (où ils coûtaient 456 millions de $) et les Jeux de Sydney, quel est le prix des droits pour les Jeux de Sydney en l’an 2000? Nous utiliserons la formule suivante, qui est adaptée de la formule du taux de variation énoncée un peu plus haut.

Valeur finale = Valeur initiale + (Valeur initiale × Taux de variation)
F = I + (I × Taux de variation)

Dans notre cas, la valeur finale est de :

456 + (456 × 56,8/100) = 715

ou encore, présenté de façon moins habituelle, mais plus pratique :

456 + (456 × 0,568) = 715

N’oublions pas que les trois expressions suivantes : 56,8 %; 56,8/100 et 0,568 ont la même valeur, même si elles sont présentées différemment. Nous vous recommandons d’utiliser la forme décimale (0,568) pour vos calculs et le pourcentage (56,8 %) pour présenter les données au public.

Au fait, que pensez-vous de la variante suivante? Qui sait, elle pourrait nous servir bientôt.

456 × 1,568 = 715

Quel degré de précision doit-on adopter?

Le plus souvent, on se contente de présenter les taux de variation avec tout au plus un chiffre après la virgule lorsqu’ils sont sous forme de pourcentage. Dans ce cas, il faut donc conserver 3 chiffres après la virgule lorsque le taux est sous forme décimale. On aura ainsi 56,8 % (un chiffre après la virgule) et 0,568 (3 chiffres). On dira par exemple qu’en Chine le taux de croissance annuelle de la population chinoise est de 1,4 % (entre 1985 et 1990) et le taux d’inflation de 7,4 % (en 1980). Par contre, on se contentera d’affirmer que les recettes budgétaires de l’État ont baissé de 20 % (en 1990*). Ce dernier chiffre est suffisamment élevé, et les méthodes comptables suffisamment floues, pour qu’on ne s’embarrasse pas de précision inutile. Remarquez aussi le chiffre de –60 % pour la production de café brésilienne : comme la récolte n’est pas terminée, il serait mal venu de donner des chiffres plus précis qui n’intéresseraient d’ailleurs pas les lecteurs. Enfin, vous pouvez facilement vérifier que toutes les données mentionnées ci-dessus sont des taux de variation.

EXERCICES 1

1. Avancer lentement, c’est parfois reculer

a) Le tableau ci-dessous indique la répartition de la population canadienne selon la langue maternelle lors des recensements de 1951, 1991 et 2011. Calculez le taux de variation des effectifs des trois communautés entre 1951 et 1991, puis entre 1991 et 2011.

b) En 1951, il y avait dans les Provinces maritimes 235 000 francophones. Au cours des 40 années suivantes, le nombre de francophones augmentait de 23 %. Combien y avait-il de francophones en 1991?

c) Les trois groupes linguistiques bénéficient d’un taux de croissance positif. Mais qu’en est-il des proportions de ces trois groupes? Ont-elles diminué ou augmenté?

2. La vie est courte, mais de moins en moins

a) En 1931, l’espérance de vie à la naissance était, au Canada, de 62,1 ans pour les femmes et de 60 ans pour les hommes. En 1991, les chiffres étaient respectivement de 80,6 et 74. Calculez le taux de croissance de l’espérance de vie pour les femmes et les hommes entre 1931 et 1991.

b) En 2007-2009, l’espérance de vie était passée à 83,3 ans pour les femmes et 78,8 ans pour les hommes. Calculez le taux de croissance de l’espérance de vie pour les femmes et les hommes entre 1991 et 2007-2009.

2.1. Pour ajouter un taux de variation : une manière rapide et surtout… réversible

Supposons que l’on veuille ajouter un certain pourcentage (mettons 10 %) à un chiffre (mettons 200 $), quelle que soit la raison. Il y a deux manières de procéder. La manière conventionnelle consiste à multiplier le chiffre par le pourcentage et à ajouter le résultat au chiffre initial :

200 $ + (200 $ × 10 %) = 200 $ + 20 $ = 220 $

ou encore :

200 $ + (200 $ × 0,10) = 200 $ + 20 $ = 220 $

Nous avons présenté cette formule un peu plus haut, et tous les écoliers la connaissent.

Voici une autre façon d’arriver au même résultat:

200 $ × 1,10 = 220 $

L’indice de variation est le rapport entre la valeur finale et la valeur initiale d’une variable.

Lorsqu’on multiplie un nombre par 1, on ne le change pas : son taux de variation est nul. On voit ici qu’en multipliant le nombre par 1,10, on ne fait que lui ajouter 10 % (ou 0,10) de sa valeur : on ajoute 10 cents à chaque dollar. Dans le même ordre d’idée, on ajouterait 12 % en multipliant le nombre par 1,12 et 20 % en le multipliant par 1,20. Ce multiplicateur s’appelle indice de variation (ou facteur de variation).

Quel est l’intérêt de cette deuxième méthode, à part le fait qu’elle est nouvelle (et donc suspecte!)? C’est tout simplement que cette méthode est réversible. Essayons de partir du chiffre final (220 $) pour retrouver le chiffre initial. Il est clair que nous ne pouvons ôter 10 % à 220 $, car cela nous donnerait : 220 $ – 22 $ = 198 $.

La réponse est fausse parce que ce n’est pas à 220 $ que se rapportent les 10 %. Par contre, si nous utilisons notre nouvelle méthode en l’appliquant à l’envers, nous pourrions retrouver le chiffre initial : puisque nous avons multiplié 200 par 1,10 pour lui ajouter 10 %, nous allons diviser le résultat final par 1,10 pour revenir au point de départ :

220 $/1,10 = 200 $

Pour ajouter un taux de variation à un nombre, on multiplie le nombre par l’indice de variation correspondant. Pour revenir au point de départ, on divise le résultat final par l’indice de variation. L’indice de variation n’est autre que le taux de variation auquel on ajoute 1.

Valeur finale = Valeur initiale × Indice de variation

Valeur initiale = Valeur finale/Indice de variation

Indice de variation = 1 + Taux de variation

Taux de variation = Indice de variation – 1

Il est temps maintenant de résoudre les deux colles proposées au début de la section. Dans le premier cas, le taux de variation est de –60 % : l’indice de variation est donc égal à 1 + –0,60 = 0,40 (ou 0,4)

Récolte initiale = Récolte finale/Indice de variation
Récolte initiale = 10/0,40 = 25

Dans le deuxième cas, le taux de variation est de 33,7 % : l’indice de variation est donc égal à 1 + 0,337 = 1,337.

Séoul (initial) = Barcelone (final)/1,337
Séoul = 401/1,337 = 300

Les droits de diffusion télévisés pour les Jeux Olympiques étaient donc de 300 millions à Séoul et de 401 millions aux Jeux suivants (à Barcelone). Il est d’ailleurs facile de vérifier que (401 – 300) / 300 = 33,7 %.

Si cette méthode vous paraît nouvelle, sachez que vous l’avez sans doute déjà utilisée bien des fois sans le savoir. Ajouter 100 %, c’est comme multiplier par 2, n’est-ce pas? Le nombre 2 n’est que le facteur de variation correspondant au taux de variation de 100 % (car 1 + 100 % = 2). Et pour revenir en arrière, vous divisez par 2, vous enlevez la moitié, vous ôtez 50 %.

Une erreur à ne pas faire.

Un de nos amis prétend qu’il est plus facile de perdre du poids que d’en gagner et voici sa démonstration : après avoir grossi de 33,3 % (son poids étant passé de 60 à 80 kg, soit une hausse de 20/60), il lui a suffi de maigrir de 25 % (20 kg divisés par 80) pour retrouver son poids initial. Compte tenu de ce que nous venons de voir, il ne faut pas s’étonner que 33,3 % de 60 kg soient égaux à 25 % de 80 kg. Le taux de variation représente un écart relatif entre deux moments dans le temps : tout dépend du côté où on se place pour observer les choses.

C’est pour la même raison que lorsque le dollar canadien vaut 0,75 $US, on constate que le dollar américain vaut 1,33 $CAN. L’écart relatif entre 0,75 et 1 est en effet le même qu’entre 1 et 1,33.

1 $CAN vaut 0,75 $US, d’où 1 $US = 1/0,75 = 1,33 $CAN
1 $CAN vaut 1,50 florin, d’où 1 florin = 1/1,50 = 0,67 $CAN
1 $CAN vaut 5 yuans, d’où 1 yuan = 1/5 = 0,20 $CAN
1 $CAN vaut 120 yens, d’où 1 yen = 0,0083 $CAN (ou 100 yens = 0,83 $CAN)

2.2. Un miracle pour New York?

Un maire qui promet de rendre New York plus sécuritaire tout en réduisant les impôts

Lors de sa première campagne électorale à la mairie de New York, le candidat démocrate Giuliani avait promis des miracles aux New Yorkais. Une fois élu, le maire Giuliani semble avoir tenu ses promesses. Il a réussi à convaincre les employés municipaux, les commerçants et les simples citoyens que les efforts demandés profiteraient à tous. Dès la deuxième année de son mandat (1995-96), les dépenses ont diminué de 4,2 %. Seul le budget de la police a augmenté (de 7 %). Les baisses de taxes (un fait plutôt inhabituel) ont surtout profité aux commerçants, aux hôteliers et aux petits entrepreneurs, mais le maire prétend que le dynamisme économique qui en découlera est plus susceptible de sortir la ville du marasme que l’aide sociale. Pour la première fois, on voit le crime battre en retraite dans la métropole de l’Amérique du Nord, et de façon spectaculaire.

Par la suite, le maire Giuliani se fera mondialement connaître en se rendant le 11 septembre 2011 sur les ruines fumantes du World Trade Center, pendant que le président G.W. Bush restait prudemment à l’abri au camp militaire de Bellevue (Nebraska).

Un des meilleurs hebdomadaires italiens d’information, L’Espresso publie, en 1995, une série de chiffres sur le bilan du maire Giuliani (lui-même d’origine italienne). Quelle que soit l’opinion que l’on peut avoir sur les méthodes du maire (courageuses ou un peu trop musclées?), il faut commencer par examiner les faits, à la lumière de nos connaissances sur les taux de variation. Il devient alors indéniable, grâce aux chiffres du tableau 4.2, que la situation a véritablement changé, quelles qu’en soient les raisons exactes.

On nous dit que les crimes dans le métro sont passés de 11 767 (en 1993) à 9213 (en 1994), soit une baisse de 21,7 %. On peut facilement vérifier ce chiffre : (9213 – 11 767)/11 767 = –0,217 = –21,7 %. Pour les autres délits (voir tableau 4.2), la revue publie seulement les dernières données alors disponibles (1994), et le taux de variation par rapport à l’année précédente (1993). Toutefois, rien ne nous empêche d’en déduire les données brutes de 1993 (ces résultats sont inscrits en vert dans le tableau 4.2).

Il y a eu 94 525 vols d’automobiles en 1994, soit une baisse de 15,3 % par rapport à l’année précédente. Combien de vols y a-t-il eu en 1993? Il nous suffit d’utiliser la formule : Valeur initiale = Valeur finale/Indice de variation. L’indice de variation est ici 0,847 (soit 1 + [–15,3 %] ou encore 1 – 0,153). La valeur initiale est de 94 525/0,847 = 111 600. Il y a eu 111 600 vols d’automobiles en 1992. On peut d’ailleurs le vérifier ainsi : (94 525 – 111 600)/111 600 = –15,3 %. Nous avons utilisé le même procédé pour obtenir les autres valeurs manquantes du tableau 4.2 (inscrites en vert). Vous pouvez essayer de les vérifier par vous-mêmes.

2.3. La croissance cumulée

Nous savons maintenant ajouter un taux de variation et même revenir au point de départ, mais jusque-là nous nous sommes limités à deux périodes consécutives. Que se passe-t-il, par exemple si une variable connaît une croissance annuelle de 10 % pendant 10 années consécutives? Pour rendre les choses plus intéressantes, supposez que votre vieille tante vous lègue 100 $ que vous placez à 10 % d’intérêt. Que vaudra votre héritage dans 10 ans (en supposant que le taux d’intérêt ne change pas en cours de route et que vous laissiez bien sagement l’argent à la banque)?

On serait tenté, pour se débarrasser rapidement du problème, de dire que le capital va doubler : 10 % pendant 10 ans, cela ne fait-il pas 100 %? Mais soyons plus ambitieux dans notre réflexion, la fortune est à ce prix. La première année, le capital se multiplie par 1,10 (il augmente de 10 %) pour atteindre 110 $. L’année suivante, ce dernier montant se multiplie à nouveau par 1,10 pour atteindre 121 $ (car 110 $ × 1,10 = 121 $). Ce n’est pas encore un montant colossal, mais c’est plus que prévu.

En 2 ans, le capital a été multiplié 2 fois par 1,10 :

100 $ × 1,10 × 1,10 = 121 $

En trois ans, le capital serait multiplié 3 fois par 1,10 :

100 $ × (1,10 × 1,10 × 1,10) = 133,10 $
ou encore 100 $ × (1,10)³ = 133,10 $

En 3 ans, la valeur du placement est passée de 100 $ à 133,10 $ : cela signifie qu’elle a augmenté de 33,1 % en l’espace de 3 ans. Pourtant, la progression annuelle n’a été que de 10 %, ou, si l’on préfère, le placement a été multiplié par 1,10 chaque année. N’oublions pas que multiplier une quantité par 1,10 équivaut à lui ajouter 10 % (pour ajouter 15 %, on multiplie par 1,15, etc.). En 3 ans, le placement a donc été multiplié par (1,10 × 1,10 × 1,10) ou par (1,10)³ = 1,331. Trois augmentations successives de 10 % (ou 0,10) se traduisent par une augmentation cumulée de 33,1 % (ou 0,331).

Essayons, par curiosité, d’aller en sens inverse. Partons du chiffre 1,331 (augmentation totale cumulée sur trois ans) pour retrouver le chiffre initial de 1,10 (progression annuelle). Il suffit justement d’effectuer l’opération inverse : (1,331)^1/3 = 1,10. Pour le calcul des exposants, rien de mieux qu’une bonne vieille calculatrice : c’est pour elle un jeu d’enfant.

Revenons maintenant à notre héritage. Examinons sa valeur après 10 ans et, pourquoi pas, après 30 ans.

Après 10 ans, le capital sera de 100 $ × (1, 10)¹⁰ = 100 $ x 2,59 = 259 $.

Après 30 ans, le capital sera de 100 $ × (1,10)³⁰ = 100 $ × 17,45 = 1745 $. Il aura été multiplié par 17,45 (qui est l’indice de variation sur 30 ans). Il aura augmenté de 1645 % (qui est le taux de variation sur la même période, soit l’indice moins un : 17,45 – 1 = 16,45 = 1645/100 = 1645 %). Un capital de 1745 $, ça commence à être une somme intéressante, à moins que dans 30 ans ce montant corresponde au prix… d’un paquet de cigarettes.

Une autre erreur à ne pas faire.

Beaucoup de gens seraient prêts à jurer qu’une hausse de 30 % suivie d’une hausse 20 % donnent une hausse globale de 50 %. Quant à nous, nous venons de voir que les taux de variation se cumulent. Dans un premier temps, la valeur de la variable est multipliée par 1,30 (on y ajoute 30 %) et dans un deuxième temps elle est multipliée par 1,20. En tout, elle est donc multipliée par (1,30 × 1,20) = 1,56, ce qui correspond à une hausse combinée de 56 % par rapport à la valeur initiale.

Dans le même ordre d’idées, une hausse de 20 % combinée à une baisse de 10 % équivaut à une hausse nette de 8 %. En effet, la variable est successivement multipliée par 1,20 (soit 1 + 20 %) et par 0,90 (soit 1 – 10 %). Le facteur de croissance combiné est de 1,20 × 0,90 = 1,08. Le taux de croissance combiné est de 8 %.

2.4. La croissance moyenne (ou moyenne géométrique)

Selon la Banque Mondiale, la population du Nigéria devait augmenter de 136 % entre 1970 et 2000. Quelle était la croissance annuelle moyenne de la population?

Comment peut-on estimer l’évolution de la valeur d’une variable si on ne connaît pas ses taux de variation successifs?

Nous sommes ici en présence du problème inverse de celui que nous venons de voir (l’héritage de la vieille tante) : nous connaissions la croissance annuelle et nous devions en déduire la croissance cumulée après quelques années. Cette fois, nous connaissons la croissance cumulée en 30 ans et nous devons en déduire la croissance annuelle. Bien évidemment, comme cette croissance annuelle a pu varier en cours de route, nous n’obtiendrons qu’un taux de croissance annuelle moyen.

Revenons au Nigéria. La population y fait plus que doubler : elle augmente de 136 %. Elle est multipliée par 2,36 (1 + 136 % ou 1 + 1, 36) en l’espace de 30 ans. En moyenne, cela signifie que la population est multipliée par 1,029 (soit 2,36^1/30) par an. Le taux de croissance est de 0,029 (soit 1,029 – 1) ou 2,9 %.

Indice de croissance moyenne = Indice de croissance cumulée ^{(1/Nombre de périodes)}

Dans le cas du Nigéria, le nombre de périodes correspond au nombre d’années qui se sont écoulées, puisque nous cherchons à évaluer la croissance annuelle. De la même façon, on pourrait évaluer une croissance mensuelle moyenne sur 6 mois ou une croissance hebdomadaire moyenne sur 13 semaines.

Pour illustrer à nouveau comment calculer un taux de croissance moyen, reprenons un instant les données sur le nombre de francophones au Canada (voir le tableau 4.1). Le nombre de francophones passe de 4 069 000 à 6 643 000 entre 1951 et 1991. Cela équivaut à une croissance de 63,3 % ( [6 643 – 4 069]/4069 = 0,633 = 63,3 %) pour cette période de 40 ans. Le nombre de francophones a donc été multiplié par 1,633 (c’est l’indice qui correspond au taux de 63,3 %).

L’indice de croissance annuelle moyenne est donc de 1,633 ^1/40 = 1,012. Le taux correspondant est de 1,2 % (soit 1,012 – 1 = 0,012 = 1,2 %). On peut en déduire que le taux de croissance de la population francophone du Canada a été en moyenne de 1,2 % par an entre 1941 et 1991. C’est pas mal moins que le Nigéria, et pourtant les « Canadiens français » étaient encore très prolifiques dans les années 1940 et 1950. (Voir le tableau 4.3.)

EXERCICES 2

1. 1. Sur les bords de la rivière Hudson

En 1995-96, les dépenses de la ville de New York s’élevaient à 2,180 milliards de dollars (une hausse de 7 % par rapport à l’année fiscale précédente) pour la police et à 2,840 milliards pour les écoles (en baisse de 7,5 %).

Quelles étaient les dépenses correspondantes pour l’année 1994-95?

2. Télécommunication passive et active

Au début des années 1950, la télévision était cantonnée aux États-Unis (90 % de tous les téléviseurs dans le monde). Elle s’est vite répandue dans les autres pays industrialisés, mais ce n’est qu’à partir de 1975 qu’elle a commencé à conquérir l’ensemble de la planète. De 1975 à 1994, le nombre de foyers équipés de téléviseurs a augmenté de 950 % en Asie.

a) Quel est le taux d’augmentation annuelle moyen du nombre de foyers équipés d’un téléviseur en Asie, entre 1975 et 1994?

b) En vous basant sur les données du tableau 4.4 , comparez le taux de croissance annuel moyen du nombre de foyers équipés de téléviseur dans le monde au cours des années 1980 avec celui de la période 1990-94.

c) En vous basant sur les données du tableau 4.4 , calculez les taux de croissance des abonnements au téléphone fixe et au téléphone mobile entre 2005 et 2014 pour les pays développés et les pays en développement.

d) Même question que la précédente, mais, cette fois-ci, vous devez calculer les taux de croissance annuels moyens.

3. Apogée du microordinateur

Comme on l’a observé dans un chapitre précédent, les ventes totales de microordinateurs (portables inclus) sont passées de 48 millions d’unités en 1994 à 355,2 millions d’unités en 2011, avant de reculer à 341,3 millions en 2012, et à 305,2 millions en 2013.

a) Calculez le taux de croissance annuel moyen du nombre de microordinateurs vendus entre 1994 et 2011.

b) Calculez le taux de décroissance annuel moyen du nombre de microordinateurs vendus entre 2011 et 2013.

3.1. Choisir ses mots

Dans le même ordre d’idées, on parlera de l’année (moment) où les Beatles ont sorti leur premier album et des 8 ans (période) qu’a duré leur carrière officielle. Lisez la phrase précédente à voix haute en inversant les mots année et an : vous pourrez facilement convaincre vos auditeurs que le français n’est pas votre langue maternelle. Il faut admettre cependant que la langue manque parfois de précision. Ainsi, le mot heure indique à la fois la période (je t’ai attendu pendant une heure) et le moment (nous avions rendez-vous à une heure*).

Le stock mesure la valeur d’une variable à un moment précis.

Le mot stock est une image qui rappelle le décompte des inventaires que font les commerces à la fin de l’année. Le berger compte ses moutons, l’avare compte son or, le châtelain compte ses bouteilles de Château Margaux, le sergent compte ses soldats, et le Koweït compte ses réserves de pétrole. Dans tous les cas, il s’agit d’un stock mesuré à un moment précis.

Le flux mesure la valeur d’une variable pendant une période de temps.

Le mot flux rappelle le débit d’un cours d’eau ou d’un robinet (le stock serait alors le réservoir alimenté par ce débit). Le nombre d’agneaux mis au monde pendant la saison, les dividendes trimestriels, les emplettes de la journée, le nombre de recrues qui grossissent les rangs de l’armée chaque année, la production quotidienne de barils de pétrole sont tous des exemples de flux, mesurés sur une période de temps.

3.2. Qu’est-ce qui alimente la population du Québec?

La survie d’un peuple est en bonne partie une question de nombre. Le Québec ne serait pas si « distinct » aujourd’hui si ses enfants n’avaient pas été aussi prolifiques pendant les 200 ans qui ont suivi la Conquête (officialisée en 1763). Pour parler moins poétiquement, le stock de Québécois ne se serait pas multiplié par 100 sans être alimenté par un flux considérable de naissances pendant deux siècles.

Depuis les années 1960, la situation s’est cependant modifiée de façon radicale. Le tableau 4.5 donne des chiffres sur les flux qui alimentent la population québécoise à l’ère des microfamilles. On y retrouve 2 flux d’entrée : les naissances et l’immigration. Ces flux, qui totalisent 145 000 personnes en 2012-2013, correspondent au robinet d’alimentation. Ils font augmenter le niveau du réservoir d’habitants. Les 2 flux de sortie y sont les décès et l’émigration : 74 000 personnes en tout, qui constituent en quelque sorte le conduit d’évacuation du réservoir. On nous pardonnera ces comparaisons de mauvais goût entre des êtres humains et des litres d’eau, en sachant que notre but est avant tout de bien mettre en évidence les notions de flux et de stock. En fin de compte, le flux net de l’année 2012-2013 est de +71 000 individus (145 000 entrées moins 74 000 sorties).

Étant donné que les flux nets de population sont de +71 000 individus au Québec en 2012-2013, il n’est pas étonnant de voir la population (stock) passer de 8 084 000 habitants au 1^er juillet 2012 à 8 155 000 un an plus tard : l’augmentation du stock est égale aux flux nets.

Stock final = Stock initial + Flux d’entrée – Flux de sortie

Variation des stocks = Stock final – Stock initial

Flux nets = Flux d’entrée – Flux de sortie

Variation des stocks = Flux nets

En pratique, il est long et coûteux de mesurer les stocks. C’est pourquoi ils ne sont recensés qu’à des moments éloignés : la caisse n’est vérifiée qu’à la fin de la journée, l’inventaire du magasin n’est effectué qu’à la fin de l’année, et la population n’est recensée que tous les 5 ou 10 ans. Entretemps, les données sur les flux, beaucoup plus faciles à obtenir, permettent de se faire une idée des stocks. Et, puisque la mesure des flux peut être faussée par une série de facteurs (erreurs, oublis et… tricherie), le recensement périodique des stocks permet de remettre les pendules à l’heure.

3.3. Dur comme du bois

Dans certains États forestiers américains où les droits de coupe sont élevés, le bois de construction canadien est vu comme un concurrent déloyal. Les nombreuses feuilles d’érable dont les producteurs canadiens décorent leurs lots, par fierté ou par chauvinisme, sont perçues comme autant de symboles patents de l’invasion étrangère. Mais revenons à une époque où le bois représentait une des principales exportations canadiennes et où le drapeau unifolié se montrait encore très discret.

D’après le tableau 4.6, on constate que le Canada produit plus de bois qu’il n’en consomme : un surplus (ou flux net) de 6017 unités en 1966. Le commerce extérieur génère un flux net à peu près inverse : 5843 unités sortent du pays. La différence (6017 – 5843 = 174 unités) fera augmenter le stock de bois de 174 unités au cours de l’année 1966. Ce stock passe en effet de 1308 à 1482 entre le 31 décembre 1965 et le 31 décembre 1966, soit une augmentation de 174.

Ces mêmes résultats peuvent être obtenus en appliquant la formule :

Stock final = Stock initial + Flux d’entrée – Flux de sortie.
1 482 = 1 308 + (10 008 + 290) – (3991 + 6133)

Ces données nous renseignent également sur le taux de rotation des stocks. On constate que les flux annuels (qui tournent autour de 10 000) sont environ 7 fois supérieurs aux stocks (qui tournent autour de 1400). On peut en déduire que le bois entreposé se renouvelle 7 fois au cours de l’année et qu’il séjourne en moyenne un peu moins de deux mois (1/7 d’année) dans les hangars.

EXERCICES 3

1. Des mots bien choisis

Parmi les expressions suivantes, identifiez les flux et les stocks.

Naissances, solde migratoire, population, nombre de chômeurs, nombre d’emplois créés, nombre de prisonniers, nombre de personnes condamnées, nombre d’États membres de l’ONU, nombre de nouveaux États admis à l’ONU.

2. Le bois unifolié

À l’aide des chiffres du tableau 4.6, vérifiez que la variation des stocks de bois en 1967 correspond bien aux flux nets.

3. Crise et prospérité

a) Entre 1931 et 1941, la population du Canada est passée de 10,377 millions à 11,507 millions d’habitants. Au cours de cette décennie, les naissances se sont élevées à 2,294 millions, les décès à 1,072 million, tandis que l’immigration atteignait 149 000 et l’émigration 241 000 (source : Statistique Canada, Recensements de la population). Calculez le flux naturel et le flux migratoire pour la décennie. Vérifiez si les flux nets correspondent à l’accroissement de la population pendant cette même période.

b) Entre 1901 et 1911, le portrait était tout différent. La population du Canada passait de 5,371 millions à 7,207 millions d’habitants. Au cours de cette décennie, les naissances, les décès, l’immigration et l’émigration étaient respectivement de 1,925 million, 900 000, 1,550 million et 740 000. Comme pour la question précédente, calculez le flux naturel et le flux migratoire pour la décennie, et vérifiez si les flux nets correspondent à l’accroissement de la population pendant cette même période.

4.1. Le retour mythique aux bonnes vieilles traditions

Cela fait longtemps que l’on parle d’un retour en force du mariage au Québec. On prétend, avec toutes sortes de pseudo-chiffres à l’appui, qu’après quelques années d’égarement, les jeunes sont enfin revenus aux « vraies valeurs ». Cependant, dans le domaine des sciences humaines, il vaut toujours mieux prendre les excès de nostalgie avec une certaine méfiance. La même réserve s’applique d’ailleurs face aux ennemis du passé qui croient clouer le bec à toute critique en commençant chaque affirmation par « de nos jours… ».

Pour notre part, nous avons décidé d’aller y voir de plus près. Alors des chiffres, s’il vous plait, afin que nous puissions les interpréter avec toutes les précautions nécessaires. Statistique Canada a longtemps publié le nombre trimestriel de mariages. C’est exactement ce qu’il nous fallait pour nous faire une idée de l’évolution à long terme du phénomène. Comme il s’est écoulé beaucoup de trimestres pendant la période considérée, nous avons choisi de représenter les données sous forme de graphique : les trimestres figurent sur l’axe horizontal et le nombre de mariages sur l’axe vertical. Pour faire bonne mesure, nous avons ajouté, à titre de comparaison, deux provinces canadiennes, une grosse et une petite, une moderne et une traditionnelle.

Pour analyser les données à long terme il est souvent utile (et facile, avec un chiffrier électronique) de les représenter sous forme de graphique.

La représentation graphique offre l’avantage de faire ressortir de façon frappante certaines tendances à propos du mariage au Québec. D’une part, les variations saisonnières sont fortes et très systématiques. On se marie surtout en été (3^e trimestre), un peu moins au 2^e et au 4^e trimestre et très rarement en hiver (1^er trimestre). Sur ce plan, rien n’a changé depuis l’après-guerre. D’autre part, le nombre de mariages a eu tendance à monter jusqu’au milieu des années 1970 pour diminuer sensiblement par la suite. D’ailleurs, n’est-ce pas depuis cette inversion de tendance qu’on entend le plus parler d’un retour du mariage? Il n’y a là rien d’étonnant : on ne peut en effet regretter que ce qui a disparu.

Pour mieux observer la tendance qui se cache derrière les variations saisonnières, nous avons calculé une moyenne mobile sur 4 trimestres. Cela veut dire que nous faisons, pour chaque trimestre, la moyenne du trimestre en cours avec les trois trimestres précédents. Ainsi, pour le 4^e trimestre 1949, nous faisons la moyenne des 4 trimestres de 1949. La moyenne mobile est alors de (3 273 + 9 208 + 14 048 + 6 956)/4 = 8371). Pour obtenir la moyenne suivante, nous incorporons le 1^er trimestre 1950 et nous laissons tomber le 1^er trimestre 1949 (9 208 + 14 048 + 6 956 + 2 999)/4 = 8302. Chaque moyenne comporte 4 trimestres (soit une année complète) et les influences saisonnières devraient alors disparaître.

Sur la figure 4.2, on peut voir la moyenne mobile dont il vient d’être question, pour le 1^er trimestre 1950. Pour calculer la moyenne mobile du trimestre suivant, on avance le « râteau » d’un cran vers la droite. Soulignons également que la moyenne mobile peut être utilisée sur des périodes diverses : sur 7 jours, sur 3 mois, sur 5 ans, etc. Tout dépend du phénomène étudié.

La tendance à long terme.

Avant de tirer des conclusions trop hâtives de la baisse des mariages depuis le début des années 1970, examinons ce qui peut influencer la tendance à long terme du mariage. Il y a deux éléments principaux : d’une part l’évolution démographique (taille de la population, proportion de jeunes en âge de convoler) et d’autre part l’évolution des mœurs. Notre intention n’est pas ici d’étudier le sujet à fond, mais simplement de montrer qu’avec un peu de méthode on est déjà bien armé pour traiter d’un sujet. La hausse des mariages n’a rien d’étonnant entre 1949 et 1965, compte tenu de la croissance soutenue de la population du Québec. La poussée de 1965-75 s’explique sûrement en bonne partie par l’arrivée à maturité des enfants d’après-guerre (les baby-boomers). Depuis 1975, bien que la population ait continué d’augmenter, il se peut que la proportion de jeunes se soit réduite. Toutefois, la descente est trop prononcée et trop systématique pour qu’on puisse l’imputer à de simples considérations démographiques. Il faut plutôt y voir un changement dans les comportements : on se marie plus vieux et, même si certaines personnes se marient maintenant plusieurs fois, on a plus souvent recours à l’union libre qu’autrefois (voir le tableau 4.7 en ce qui concerne ces hypothèses et, pour le reste, dites-vous que cela ferait un bon sujet de recherche).

L’évolution des autres.

La Colombie-Britannique a continué à connaître une forte croissance de sa population après les années 1960. Ce dynamisme, à la fois en quantité (population plus nombreuse) et en qualité (population plus jeune), explique en partie la hausse des mariages après le seuil fatidique du milieu des années 1970. Il est probable aussi que les changements de mœurs aient été moins prononcés qu’au Québec, puisque la Colombie-Britannique finit par se rapprocher du Québec (au chapitre du nombre de mariages) bien que sa population soit environ deux fois moindre.

On remarque enfin que les variations saisonnières étaient moins prononcées, autrefois, en Colombie-Britannique et à Terre-Neuve. Cela s’expliquait sans doute par un climat moins inconstant que celui du Québec. Mais on constate, au fil des ans, des amplitudes de plus en plus grandes. Se pourrait-il que pour certains le mariage soit devenu un gros investissement et un phénomène social? Il faut alors bien choisir sa saison, d’autant plus que les fiancés qui vivent déjà en concubinage sont moins pressés qu’autrefois.

4.2. Derrière les mouvements immédiats, la tendance profonde

Les données chronologiques portent naturellement sur des variables susceptibles d’évoluer à long terme. Mais elles subissent parfois des influences à court terme. Les mariages, comme on l’a vu, fluctuent d’une saison à l’autre; l’affluence dans les hôpitaux peut varier au cours de la semaine; et les hauts et les bas de l’économie, qui durent parfois plusieurs années influencent par exemple le chômage ou le commerce extérieur à court terme.

Les corrections saisonnières

Lorsque les variations à court terme sont bien cernées et qu’elles reviennent de façon régulière et systématique, on a recours aux corrections saisonnières. En pratique, elles se font souvent sur une échelle annuelle, lorsque les variations à court terme sont semblables d’une année à l’autre.

Certains hôtels réalisent la moitié de leur chiffre d’affaires lors des vacances de juillet. Septembre marque depuis très longtemps la rentrée des classes et avril le paiement des impôts. Quant à la saison de ski, il y a fort à parier qu’elle aura toujours une prédilection pour l’hiver. Dans tous ces cas, et en supposant que les données sont mensuelles, on pourrait calculer, d’après l’observation des années précédentes, une série de douze écarts (un pour chaque mois) équivalents aux variations purement saisonnières.

La figure 4.3 illustre le principe des variations saisonnières en ce qui concerne le chômage. On voit sur le graphique que le taux brut est fortement influencé par les fluctuations saisonnières. De janvier à avril, le chômage est toujours relativement élevé, avec un sommet en février (le mois le plus triste de l’hiver?). Entre août et novembre, le chômage est toujours relativement bas. Le taux de chômage désaisonnalisé nous permet de voir ce qui se cache derrière le taux brut. Malgré les apparences (le taux brut descend pendant une bonne partie de l’année), la situation de l’emploi se détériore sérieusement au cours de l’année 1977, marquée par une récession. On y observe par exemple qu’en mars 1977, le taux de chômage brut a très peu diminué bien que la saison de création d’emplois soit déjà amorcée. C’est donc signe que le chômage a, en réalité, tendance à augmenter, ce que confirme le taux de chômage désaisonnalisé.

La moyenne mobile.

Lorsque les variations à court terme surviennent de façon irrégulière et imprévisible, on peut avoir recours à la moyenne mobile pour déceler la tendance à long terme derrière les fluctuations à court terme. Nous avons vu plus haut la moyenne mobile sur 4 trimestres pour les mariages. Il existe également des moyennes mobiles sur 12 mois (on fait la moyenne des 12 derniers mois : le mois en cours et les 11 mois précédents).

Le choix du nombre de périodes utilisées pour calculer la moyenne mobile dépend de la variable étudiée et de l’usage que l’on veut en faire.

Les changements de périodicité.

Pour étudier l’évolution à long terme du nombre de mariages, nous aurions pu nous contenter de données annuelles. Comme les données trimestrielles dont nous disposons sont des données brutes, il nous suffit alors d’additionner les 4 trimestres de chaque année.

Lorsque les données sont des rapports, l’opération est un peu plus compliquée. Supposons que le taux de chômage (chômeurs/personnes actives) est de 11 % pendant les 4 premiers mois de l’année et de 10 % pendant les 8 mois suivants. On ne peut évidemment pas additionner les 12 taux de chômage (cela ferait [4 × 11] + [8 × 10] = 44 + 80 = 124 % de chômeurs!). Dans ce cas, on devrait faire une moyenne annuelle. On obtiendrait : [(4 × 11) + (8 × 10)]/12 = 124/12 = 10,3 %.

Comme on le voit, ces petits calculs ne présentent pas de grandes difficultés sur le plan mathématique. Ce qui compte, c’est avant tout de bien les choisir. Souvent, la même variable est publiée avec différentes périodicités : il est par exemple courant de trouver le nombre de naissances par mois, par trimestre et par année. Lorsque cela est possible, choisissez la périodicité qui convient le mieux à votre étude.

4.3. L’échelle semi-logarithmique

Comme nous l’avons vu, les courbes sont un des moyens privilégiés pour représenter l’évolution des valeurs d’une variable à travers le temps. Cependant, lorsqu’une série chronologique porte sur une longue période et que les données tendent à augmenter constamment, une telle courbe tend à se déformer.

La première courbe de la figure 4.4, qui représente l’évolution de l’indice des prix au cours du XX^e siècle, laisse croire, par exemple, que l’inflation était beaucoup plus forte dans les années 1980 que dans les années 1960 (la pente de la courbe est beaucoup plus abrupte). Mais cette impression est trompeuse, car les prix ont augmenté à peu près au même rythme dans les décennies 1980 et 1960.

L’échelle logarithmique permet de représenter fidèlement le rythme de progression d’une variable.

Observez, maintenant la deuxième courbe de la figure 4.4. Cette fois, l’échelle de l’axe vertical a été ajustée. Avez-vous remarqué que les marques de graduations 1, 10, 100 sont situées à égale distance les unes des autres? C’est tout simplement qu’entre chacune de ces marques, les données progressent au même rythme : elles sont multipliées chaque fois par 10 (la marque suivante serait 1000). Ce genre d’échelle, appelée semi-logarithmique parce qu’elle ne concerne qu’un seul des deux axes, permet de représenter fidèlement l’évolution d’une série chronologique. Grâce à la nouvelle d’échelle, on peut constater clairement que l’indice des prix a beaucoup fluctué entre les deux guerres et que la poussée qu’il a subie dans les années 1970 s’est nettement atténuée par la suite.

Il n’est pas très difficile de tracer un graphe à échelle logarithmique, surtout si on se sert d’un chiffrier électronique. Mais parfois, cela n’en vaut pas vraiment la peine. Lorsque la période de temps est relativement courte ou que les données ont tendance à baisser autant qu’à monter, un bon vieux graphe traditionnel fait très bien l’affaire.

4.4. Quelques précautions à prendre

Pour conclure, nous vous proposons quelques façons de tricher sur la présentation des données chronologiques. Mais, rassurez-vous, notre but n’est pas de vous corrompre, mais bien de vous aider à démasquer les vrais tricheurs (voir la figure 4.5).

EXERCICES 4

1. L’inflation en graphiques

Utilisez les tables historiques sur l’inflation pour construire les trois graphiques suivants :

a) Évolution à long terme des indices des prix à la consommation depuis 1913 (échelle semi-logarithmique)

b) Évolution à long terme des indices des prix à la consommation depuis 1913 (échelle non logarithmique)

c) Évolution des taux d'inflation annuels depuis 1950.